Sederhana Belajar: Juni 2016

XI/SMA/MA/SMK/MAK/SEMESTER GENAP

Mila Kusuma Wardani

XI Akuntansi 3 / 27

SMK N 1 SRAGEN

XI/SMA/MA/SMK/MAK/SEMESTER GENAP

Mila Kusuma Wardani

XI Akuntansi 3 / 27

SMK N 1 SRAGEN

ATA PENGANTAR

Assakamu`alaikum Wr. Wb

Pertama-tama marilah kita panjatkan puji syukur atas kehadirat Allah S.W.T yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayahnya kepada kita semua. Sehingga saya dapat menyelesaikan Modul Matematika Bab Transformasi, Turunan, dan Integral dengan baik dan lancar.

Modul ini saya susun yang salah satunya sebagai sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Dan juga untuk pemenuhan tugas. Saya menyajikan materi dalam modul ini berusaha untuk mudah dipahami oleh para siswa dan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Saya berterima kasih yang setulus-tulusnya kepada semua pihak yang telah membantu saya dalam pembuatan Modul Matematika ini. Dan saya sangat mengharapkan saran-saran maupun kritik yang membangun dari semua pembaca agar saya dapat meningkatkan kualitas saya dalam menyusun Modul Matematika ini.

Semoga Modul matematika ini dapat bermanfaat bagi penyusun dan bagi pembaca serta dapat memenuhi harapan semua pihak.

Karanganyar, Mei 2016

Mila Kusuma Wardani

DAFTAR ISI

COVER ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….... i

KATA PENGANTAR ………………………………………………………………………………………………………………………..…………….. ii

DAFTAR ISI …………………………………………………………………………………………………………………………………..………..….. iii

BAB 10 TRANSFORMASI GEOMETRI

TRANSLASI / PERGESERAN ………………………………………….………………………………………….……………… 1

REFLEKSI / PENCERMINAN ………………………………………….…………………………………….…….……….…….. 5

ROTASI / PERPUTARAN ……………………………….…………………………………………………….……….………….. 9

DILATASI / PENSKALAAN ………………………………………..………………………………………………….………….. 13

TRANSFORMASI dengan MATRIKS TRANSFORMASI TERTENTU …………...………….………..…………… 16

LUAS HASIL TRANSFORMASI ………………………………………………………………………………………………….. 17

BAB 11 TURUNAN

TURUNAN SUATU FUNGSI ……………………………………………………………………………..……………...…….... 22

TURUNAN TRIGONOMETRI ………………………………………………………………………………...…………………… 24

SIFAT-SIFAT TURUNAN …………………………………………………………………..……………………………………… 28

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA ………………………………………………………….………………………. 31

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN ……………………………………………………………………….………………… 32

NILAI STASIONER ………………………………………………………………………………………………………….……….. 37

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ……………………………………………………………………………………………... 39

BAB 12 INTEGRAL

DEFINISI INTEGRAL ……………….……………………………………………………………………………………………….. 42

SUBTITUSI …………………………………………………………...………………………………………………………………… 43

SUBTITUSI TRIGONOMETRI …………………………………………………………………………………………………….. 44

INTEGRAL PARSIAL ………………………………………………………………………………………………………………… 46

INTEGRAL TAK TENTU ……………………………………………….…………………………………………………………….. 47

INTEGRAL TERTENTU …………………………………………….………………………………………………………………… 48

DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………….………………………………………………………………… 51

BAB 10

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

1. Translasi (Pergeseran)

2. Refleksi(Pencerminan)

3. Rotasi(Perputaran)

4. Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

TRANSLASI / PERGESERAN

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

dimana :

ü a ; Menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

ü b ; Menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

Contoh Soal :

Soal No. 1

a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Pembahasan

Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:

Description: http://matematikastudycenter.com/images/12-sma-transformasi-1a.gif

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:

a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Description: http://matematikastudycenter.com/images/12-sma-transformasi-1c-solusi.gif

Description: http://matematikastudycenter.com/images/12-sma-transformasi-1c-solusi.gif

Soal No. 2

a) Disediakan suatu persamaan garis lurus y = 3x + 5. Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Pembahasan

Ada beberapa cara diantaranya :

Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:

x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal

y = 3x + 5

(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:

y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x

Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal: Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)

Titik B, untuk Y = 0 → x = –⁵ /₃ dapat titik B (– ⁵/₃ , 0)

Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)

A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)

Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu :

Description: http://matematikastudycenter.com/images/12-sma-transformasi-2-solusi.gif

Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:

ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil :
ax + by = c + ap + bq

Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah.
y = 3x + 5 atau 3x − y = − 5 oleh T = (2,1)

Hasil translasinya adalah:

3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0 atau
y = 3x

REFLEKSI / PENCERMINAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

ü Terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)

ü Terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)

ü Terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

ü Terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)

ü Terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

ü Terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)

ü Terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Pencerminan terhadap garis y = mx + c, jika m = tan θ maka:

Contoh Soal :

Description: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieOKFuq5mF8yipJR0CTggXfTQJTCy-VZo6m_FO7xiwidb1aBxHtxQ-oVshRehyonnGiugtI838rXKRlxiPQPGk2lBBgMTglE2yHTJ4d3Okoogdjzh8HYjhiLplWV7rgVAsZ_ByyrJmfXQ/s1600/2.png,Description: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrj0FdqlJN212XPAZRKdaBmIDinnKS-8zWcz-Mtk4z1RIg4gyBfVlHZZJFSOuKvNkQNS_FAnyqkvqLWtLN8RpcHDs0_30xkrhpbWl-OWSWYu5xgxD8WdOX7tZuQauFARiXwK3grOLqwl4/s1600/1.png

Pembahasan :

2. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8
Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
x = h

(a, b) ----------> (2h − a, b)

(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)

b) Terhadap garis y = 8
y = k

(a, b) ----------> (a, 2k − b)

(3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)

3. Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:

a) Terhadap garis y = x

b) Terhadap garis y = − x

Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
y = x

(a, b) ----------> ( b, a)

(3, 5) ----------> (5, 3)

b) Terhadap garis y = − x
y = − x

(a, b) ----------> ( − b, − a)

(3, 5) ----------> (− 5, − 3)

ROTASI / PERPUTARAN

Rotasi	Matriks	Perubahan titik	Perubahan fungsi
½ 	0 -1 1 -0 	(x,y)(-y,x)	F(x,y) = 0F(y,-x) = 0
	-1 0 1 -1 	(x,y) (-x,-y)	F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0
3/2 	0 -1 -1 0 	(x,y) (y,-x)	F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0
	cos -sin sin cos 	(x,y)  (x cos - y sinq, x sin  + y cos ) F(x,y) = 0 F(x cos  + y sin , -x sin  + y cos ) = 0

UnUntuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

ü +90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)

ü +270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)

ü +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Contoh Soal :

1. Vektor $Description: \vec{x}$ diputar terhadap titik asal O sebesar $Description: \theta < 0$ searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis

, menghasilkan vektor $Description: \vec{y}$ . Jika $Description: \vec{y} = A\vec{x}$ , maka matriks

= …

A. $Description: \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\-1 & 0\end{bmatrix}$

B. $Description: \begin{bmatrix} 0 & -1 \\-1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$

C. $Description: \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\-1 & 0\end{bmatrix}$

D. $Description: \begin{bmatrix} 0 & -1 \\1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ \sin\theta & -\cos\theta\end{bmatrix}$

E. $Description: \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\1 & 0 \end{bmatrix}$

Jawab :
Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar $Description: -\theta$ (searah jarum jam

$Description: \displaystyle \begin{aligned} M_1 = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}$

Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap

$Description: \displaystyle \begin{aligned} M_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

$Description: \vec{x}$ ditransformasi berturut-turut oleh

dan

menjadi $Description: \vec{y}$ dengan hubungan $Description: \vec{y} = A\vec{x}$ , sehingga

adalah matriks komposisi dari

dan

Jawaban : B

3. Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'.

Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

Description: http://matematikastudycenter.com/images/12-sma-transformasi-5a.gif

Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam

DILATASI / PENSKALAAN

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi :

ü Dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)

ü Dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :

Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Contoh soal :

1) Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan A(2,2) , B(-2,2) , C(-2,-2) dan D(2,-2) jika dilakukan transformasi Dilatasi pusat O dan skala 3 adalah....

Jawab :

Jadi hasilnya A'(6,6) , B'(-6,6) , C'(-6,-6) dan D'(6,-6)

2) Bayangan garis x - y - 3 = 0 oleh D(O,4) adalah.....

Jawab :

Transformasinya adalah Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 4

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20x=%5Cfrac%7Bx%5C,%20%27%7D%7B4%7D%5C:%5C:%20dan%5C:%20%5C:%20y=%5Cfrac%7By%5C,%20%27%7D%7B4%7D$

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20bayangannya%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5C:%20%5Cfrac%7Bx%5C,%20%27%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7By%5C,%20%27%7D%7B4%7D-3=0$

dengan menghilangkan tanda aksen dan mengalikan dengan 4 maka bayangan / peta / hasilnya adalah x - y - 12 = 0

Bagaimana jika mendilatasikan dengan pusat di suatu titik yang

bukan titik O(0,0) misal A(p,q) dan faktor skala k ....???

maka bentuk operasinya menjadi :

atau dapat ditulis :

k.(x-p) = x' - p dan k.(y-q) = y' – q

3) Bayangan titik W(2,6) oleh dilatasi dengan pusat (2,-1) dan factor skala -2 adalah....

Jawab :

-2(2-2) = x' - 2 maka x' = 2

-2(6+1) = y' +1 maka y' = - 15

jadi bayangannya W'(2,-15)

4) Bayangan garis y = x - 3 karena dilatasi faktor skala 4 dengan pusat A(1,2) adalah....

Jawab :

atau dapat ditulis menjadi

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfn_jvn%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x=%5Cfrac%7Bx%27+3%7D%7B4%7D%5C%5C%20y=%5Cfrac%7By%27+6%7D%7B4%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D$

sehingga bayangannya adalah :

$Description: http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7By%5C,%20%27+6%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7Bx%5C,%20%27+3%7D%7B4%7D-3%5CRightarrow%20y%27=x%27+15$

atau ditulis y = x + 15 atau x - y + 15 = 0

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

KOMPOSISI TRANSFORMASI

Merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Komposisi Khusus :

Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.
Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.
Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

LUAS HASIL TRANSFORMASI

Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda.

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.

1) Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)

Penyelesaian :

Cara 1 = Cara langsung

Cara 2 = Menggunakan matriks

Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks

kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....

A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. 3x + y + 1 = 0
E. x + 3y + 1 = 0

(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan :

Transformasi oleh matriks

dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa :

y' = − y
y = − y'

x' = x + 2y
x' = x + 2(− y')
x' = x − 2y'
x = x' + 2y'

Jadi:

x = x' + 2y'
y = − y'

Masukkan ke persamaan awal

y = x + 1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 =
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0

Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....

A. (−11, 6)
B. (−6, 11)
C. (−5, 11)
D. (11, −5)
E. (11, −6)

Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)

Lingkaran (x − 2)² + (y + 3)² = 25 ditransformasikan oleh matriks

dilanjutkan oleh matriks maka bayangan lingkaran itu adalah....

A. x² + y² + 6x − 4x − 12 = 0
B. x² + y² − 6x − 4x − 12 = 0
C. x² + y² − 4x − 6x − 12 = 0
D. x² + y² + 4x − 6x − 12 = 0
E. x² + y² + 4x + 6x − 12 = 0

Pembahasan
(x − 2)² + (y + 3)² = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.

Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.

Titik P (2, − 3) oleh transformasi akan menjadi P':
Titik P' ini oleh transformasi kedua akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini:

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi:

BAB 11

TURUNAN

A. Turunan Suatu Fungsi

Turunan Matematika adalah misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan dan contoh :

Jika dengan C dan n konstanta real, maka :

Jika y = C dengan

Jika y = f(x) + g(x) maka

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4tOETmin3QfyA4tUlJJfUlufVQ8DKiPNI_D5gYMHAnz8QlpqiSaH5uBf0kGxUnq-C8zqtXtgOrA8gmt9k-rZHaFkxjqlkn-zunrwhB1fHS7S50PFzBSwln-Kw_Ko6-NmFWrOOnoAanogA/s320/10.PNG

Jika y = f(x).g(x) maka

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlCCght5pnvQ7h4N1BdyMzpbFE-LxFLvmfUzUpUnXS4B0jRnwbbF-wglqA-eLsBDUkq62WYBB8qoi9MmyscSnWLQqyIa3weU3J0mJ8SzHJY5a2TJf5TQDmGXrT-XH5whPOTUzD5Go-Hk47/s320/11.PNG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiictFFKzyfL4Ie2KMnICnfMwyRjCIyZ94ZkSxvqSm3cSLs0TNYjb4Xj-3Ziw7Fnt0R5JDP3axYaRbYkCi4npCX2_Za-ryBDRrjbmdRpBP2tavw9sEUXzt-WXnvQfUKRo7V2gt-F6UKSmIz/s320/12.PNG

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnb86luSxhouSR0pvyTK3K5FaX3vAxHs_zXARkkxI8ec2jr24_AarWpxYeBEmJsFokpgKbtrFLocFils1AJ4Zvs1VIzru8YaCkLBCpQykulCi-G8HefJuaqqq_OZrbuBEWdaIBya750TS-/s320/13.PNG

B. Turunan Trigonometri

Rumus Turunan Trigonometri adalah :

http://image.slidesharecdn.com/integralpp-141030175518-conversion-gate01/95/integral-sma-kelas-xii-ipa-9-638.jpg?cb=1414709834

http://image.slidesharecdn.com/integralpp-141030175518-conversion-gate01/95/integral-sma-kelas-xii-ipa-12-638.jpg?cb=1414691834

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x.

Pembahasan :

y' =	dy	=	d (sin 4x + cos 6x)
	dx		Dx

y' = 4 cos 4x − 6 sin 6x.

2. Tentukan turunan pertama dari y = 6 sin 2x − 4 cos x.
Pembahasan :

y' =	dy	=	d (6 sin 2x − 4 cos x)
	dx		Dx

y' = 12 cos 2x − (-4 sin x)
y' = 12 cos 2x + 4 sin x

y' =	dy	=	d (3x⁴ + sin 2x + cos 3x)
	dx		Dx

3. Jika y = 3x⁴ + sin 2x + cos 3x, maka tentukan turunan pertamanya.
Pembahasan :

y' = 12 x³ + 2 cos 2x − 3 sin 3x.

4. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka tentukan f '(^π⁄₆).

Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :

⇒ u(x) = sin x, maka u'(x) = cos x

⇒ v(x) = cos 3x, maka v'(x) = -3 sin 3x.

Maka turunan pertamanya adalah :

f '(x) =	dy	= u'(x).v(x) + u(x).v'(x)
	dx

y =	1 + cos x
	sin x

f '(x) = cos x (cos 3x) + sin x (-3 sin 3x)
f '(x) = cos x. cos 3x − 3 sin x. sin 3x
f '(^π⁄₆) = cos (^π⁄₆). cos 3(^π⁄₆) − 3 sin (^π⁄₆). sin 3(^π⁄₆)
f '(^π⁄₆) = {½√3 (0)} − {3 (½) (1)}
f '(^π⁄₆) = 0 − ³⁄₂
f '(^π⁄₆) = -³⁄₂

5. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut :

Pembahasan :
Kita dapat gunakan konsep turunan perkalian fungsi. Misalkan :

⇒ u(x) = 1 + cos x, maka u'(x) = -sin x
⇒ v(x) = sin x, maka v'(x) = cos x.

Maka turunan pertamanya adalah :

y' =	dy	=	u'(x).v(x) − u(x).v'(x)
	dx		v²(x)

y' =	-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x)
	sin² x

y' =	-sin² x − cos² x − cos x
	sin² x

y' =	-(sin² x + cos² x) − cos x
	sin² x

y' =	-(1) − cos x
	1 − cos² x

y' =	-~~(1 + cos x)~~
	(1 − cos x).~~(1 + cos x)~~

y' =	-1
	1 − cos x

y' =	1
	cos x – 1

Turunan Kedua

Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

Sifat Sifat Turunan

Dalam mencari turunan, seringkali kita menjumpai dua fungsi atau lebih yang dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagikan. Untuk memudahkan perhitungan ini, dibuatlah sifat-sifat turunan.
Jika u dan v adalah fungsi dalam x, dan c adalah konstanta, maka berlaku
1. f(x) = u + v maka f '(x) = u' + v'
2. f(x) = u - v maka f '(x) = u'-v'
3. f(x) = c.u maka f '(x)=c.u'
4. f(x) = u.v maka f'(x) = u'v + uv'
5. $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D$ maka $http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27v-uv%27%7D%7Bv%5E%7B2%7D%7D$

Bukti :

§ Sifat 1 :

f(x) = u(x) + v(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29+v%28x+h%29-%5Cleft%20%5b%20u%28x%29+v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29+v%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D+%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$
f '(x) = u'(x) + v'(x)

§ Sifat 2 :

f(x) = u(x) - v(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-v%28x+h%29-%5Cleft%20%5b%20u%28x%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29-%5Cleft%20%5b%20v%28x+h%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D-%5Cfrac%7Bv%28x+h%29-v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D$

f '(x) = u'(x) - v'(x)

§ Sifat 3 :

f(x) = c.u(x) maka f '(x)=c.u'(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bc.u%28x+h%29-c.u%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20c%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29-u%28x%29%7D%7Bh%7D%20%5Cright%20%29$

f '(x)=c.u'(x)

§ Sifat 4 :

f(x) = u(x).v(x) maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bf%28x+h%29-f%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29.v%28x+h%29-u%28x%29v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7Bu%28x+h%29.v%28x+h%29-u%28x%29v%28x+h%29+u%28x%29v%28x+h%29-u%28x%29v%28x%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%5b%20u%28x+h%29-u%28x%29%20%5Cright%20%5dv%28x+h%29+u%28x%29%5Cleft%20%5b%20v%28x+h%29-v%28x%29%20%5Cright%20%5d%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%5b%20u%28x+h%29-u%28x%29%20%5Cright%20%5dv%28x+h%29%7D%7Bh%7D$

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D%20&maka%20&f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29v%28x%29-u%28x%29v%27%28x%29%7D%7Bv%5E%7B2%7D%28x%29%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D,http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%28x%29=%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D,http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20u%28x%29=f%28x%29.v%28x%29,http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20u%27%28x%29=f%27%28x%29.v%28x%29+f%28x%29.v%27%28x%29,http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29.v%28x%29=u%27%28x%29-f%28x%29.v%27%28x%29,http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29-f%28x%29.v%27%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D$

Sifat 5
Karena
Maka

Sehingga

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csmall%20%5Cfn_jvn%20f%27%28x%29=%5Cfrac%7Bu%27%28x%29-%5Cfrac%7Bu%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D.v%27%28x%29%7D%7Bv%28x%29%7D$ Jika pembilang dan penyebut dikalikan dengan v(x) maka diperoleh

Persamaan Garis Singgung Kurva

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

ü Gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m

ü Gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b

ü Gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

ü Jika saling sejajar maka m1= m2

ü Jika saling tegak lurus maka m1.m2 = -1 atau m1 = -1/(m2)

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Tentunya kalian masih ingat dengan topik sebelumnya tentang menentukan titik maksimum, titik minimum, dan titik belok. Pada topik ini, kalian akan belajar tentang penggunaan turunan dalam menentukan nilai maksimum dan nilai minimum.

Definisi 1 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan x = c merupakan anggota Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum fungsi f pada Df jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di Df

2. f(c) adalah nilai minimum fungsi f pada Df jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di Df

3. f(c) adalah nilai ekstrim fungsi f pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau minimum fungsi f di Df

Definisi 2 :

Jika diberikan fungsi f dengan daerah asal Df dan interval (a,b) merupakan himpunan bagian dari Df, maka berlaku hubungan sebagai berkut :

1. f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai maksimum fungsi f pada (a,b)

2. f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f pada interval (a,b) yang memuat c jika f(c)adalah nilai minimum fungsi f pada (a,b)

3. f(c) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika f(c) adalah nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal fungsi f[/important

Lalu, kapan terjadi nilai ekstrim lokal?

Kalian dapat menggunakan uji turunan pertama untuk menentukan nilai ekstrim lokal.

Jika fungsi f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat x = c, maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1. Jika f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai maksimum lokal f

2. Jika f'(x) < 0 untuk semua nilai x dalam selang (a,c) dan f'(x) > 0 untuk semua nilai x dalam selang (c,b), maka f(c) merupakan nilai minimum lokal f

3. Jika f'(x) pada selang (a,c) dan (c,b), maka f(c) bukan merupakan nilai ekstrim lokal f

Agar lebih jelas, mari perhatikan gambar di bawah ini.

Apakah kalian sudah paham? Mari kita cermati beberapa contoh berikut ini.

Contoh 1:

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 2x2 - x jika Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2} !

Penyelesaian :

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTQvMTIvMDEvMTAvMjYvMjYvNTE4LzU0NzE5NGI0YjU3ODllMGExZjAwMDA4Zi5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=9387fb000d181c90

Jika kita perhatikan, ternyata x = ¼ merupakan anggota Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 }. Dengan demikian, untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f pada Df, kita perlu mengetahui nilai f untuk x = -1 , x = ¼, dan x = 2.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari
f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | -1 ≤ x ≤ 2 } berturut-turut adalah f(2) = 6 dan f( ¼ ) = - 1/8.

Contoh 2 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = 3x2 - 2x + 1 jika Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } !

Penyelesaian :

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTQvMTIvMDEvMTAvNDYvNTIvNC81NDcxOTU2NjNmODA2OTAwMGYwMDAxZDgucG5nIl0sWyJwIiwidGh1bWIiLCI2MDB4XHUwMDNlIix7fV1d.png?sha=970abf42823fda54

Oleh karena x = 1/3 bukan merupakan anggota Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = 1 dan x = 4.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTQvMTIvMDEvMTAvNTUvMjUvNjI5LzU0N2M0OTFjYzlmMTNmMDAwZjAwMDEzMS5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=7acad41956696473

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari
f(x) = 3x2 – 2x + 1 dengan Df = { x | 1 ≤ x ≤ 4 } berturut-turut adalah f(4) = 41 dan f(1) = 2.

Contoh 3 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = (x + 4)2 jika Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } !

Penyelesaian :

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTQvMTIvMDEvMTEvMTMvMjEvMzAvNTQ3YzRkNTEwZmVmZDMwMDBjMDAwMTNkLnBuZyJdLFsicCIsInRodW1iIiwiNjAweFx1MDAzZSIse31dXQ.png?sha=3723b3a01f7ea12a

Oleh karena x = -4 merupakan batas kiri dari Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 }, maka untuk menentukan nilai minimum dan nilai maksimum untuk fungsi f, kita cukup mengetahui nilai f untuk x = -4 dan x = 0.

https://d14fikpiqfsi71.cloudfront.net/media/W1siZiIsIjIwMTQvMTIvMDEvMTEvMTkvMzEvMzEyLzU0N2M0ZWMzYzlmMTNmMDAwYzAwMDEzMy5wbmciXSxbInAiLCJ0aHVtYiIsIjYwMHhcdTAwM2UiLHt9XV0.png?sha=aeb246c8af682239

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimum dan minimum dari
f(x) = (x + 4)2 dengan Df = { x | -4 ≤ x ≤ 0 } berturut-turut adalah f(0) = 16 dan f(-4) = 0.

Contoh 4 :

Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4 merupakan :

Fungsi naik
Fungsi turun

Jawab: f(x) = x³ + 9x² + 15x + 4

Syarat fungsi turun

f’(x) < 0

3x² + 18x + 15 < 0

x² + 6x + 5 < 0

(x+1) (x+5) < 0

Harga batas

x = -1 , x = -5

Jadi fungsi naik pada interval

-5 < x < -1

f’(x) = 3x² + 18x + 15

Syarat fungsi naik

f’(x) > 0

3x² + 18x + 15 > 0

x² + 6x + 5 > 0

(x+1) (x+5) > 0

Harga batas

x = -1 , x = -5

-1

-5

-1

Jadi fungsi naik pada interval

x < 5 atau x > -1

NILAI STASIONER

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping

Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

Jenis – jenis nilai stasioner

1. Nilai stasioner di titik A.

Pada : x < a diperoleh f’(x) > a

x = a diperoleh f’(x) = a

x > a diperoleh f’(x) < a

Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai

stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.

2. Nilai stasioner di titik B dan D.

a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0

x = b diperoleh f’(x) = 0

x > b diperoleh f’(x) < 0

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.

b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0

x = d diperoleh f’ (x) = d

x > d diperoleh f’ (x) > d

fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d))

disebut titik belok

Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok.

3. Nilai stasioner di titik E

Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0

x = e diperoleh f’(x) = 0

x > e diperoleh f’(x) > 0

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e))

disebut titik balik minimum.

Contoh :

Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x² + 2x

Jawab : f(x) = x² + 2x

f’(x) = 2x + 2

= 2(x + 1)

Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0

2(x + 1) = 0

x = -1

f(-1) = (-1)² + 2(-1) = -1

Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

x = 1

2 ( x + 1 )

f’(x)

-1^- -1 -1⁺

- 0 +

Bentuk grafik

Titik balik minimum

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI

Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut :

Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0.
Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0.
tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya.
tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative.

Contoh :

Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x³, tentukan :

Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y.
Nilai stasioner dan titik stasioner.
Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative.
Titik Bantu

Jawab:

i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.

Y = 0 = 3x – x³

↔ 0 = x (3 – x²)

↔ 0 = x (

- x ) (

+ x)

Titik potong sumbu x adalah (0,0), (

,0), (-

,0)

ii. memotong sumbu y, jika x = 0

y = 3x – x³

y = 3.0 - 0³

y = 0

titik potong sumbu y adalah (0,0)

Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0

f’ (x) = 3 – 3x²

↔ 3 (1 - x ²)

↔ 3 (1 – x) (1 + x)

x = 1, x = -1

Untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)³ = 2

x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)³ = -2

Nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2

Titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)

y = 3x – x² , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x³. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif.
y

Titik Bantu

x -2 2 -3 3 …

√3

-√3

-2 -1 0 1 2

, y 2 -2 18 -18 …

BAB 12

INTEGRAL

Integral merupakan sebuah konsep penting dalam matematika yang seringkali menjadi kelemahan tidak sedikit orang. Agar dapat paham dengan integral sampai integral berkelanjutan, anda pertama harus paham integral dasarnya dulu. Pondasi dari semua integral lanjutan, misalnya saja agar dapat paham integral parsial, integral tentu, integral tak tentu, dll.

Jika diberikan suatu fungsi f dari variabel x dengan interval [a,b] maka integral tertentunya dapat ditulis seperti gambar diatas. Sedangkan kurva untuk integral tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Kurva diatas dapat didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, sumbu y, garis x=a dan garis x=b, dimana daerah diatas sumbu x bernilai positif dan daerah dibawah sumbu x bernilai negatif.

Integral juga biasa digunakan untuk merujuk anti turunan. Jika terdapat sebuah fungsi F yang mempunyai turunan f maka kasus seperti ini disebut integral tak tentu yang dapat dinotasikan sebagai berikut.

Jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a,b] dan jika anti turunan F dari f diketahui maka integral tertentu dari f pada interval yang telah diketahui dapat didefinisikan sebagai.

Berikut ini beberapa rumus dasar :

Integral Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Dalam mencari nilai integral kita dapat menggunakan beberapa cara, diantaranya :

1. Substitusi

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

2. Substitusi Trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

3. Integral Parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Jika kita menemukan bentuk penjumlahan atau bentuk pengurangan integral dapat dirubah seperti berikut ini.

4. Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi

, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

5. Integral Tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Riemann.gif/250px-Riemann.gif

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n
- 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah nsubinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_i_-
1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikanƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_k_-
1, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya:

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

DAFTAR PUSTAKA

Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)

Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)

Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)

MGMP Matematika Kota Semarang, 2006. Matematika SMA/MA Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam, Semarang : PT Mascom Graphy, Semarang.

Sartono Wirodikromo, 1994. Matematika Untuk SMU Kelas 2, Program IPA, Catur Wulan 2, Penerbit Erlangga.

Modul Matematika SMA/MA dan SMK/MAK Kelas IX Program Akuntansi, Surakarta : PT Grahadi, Surakarta.

Sederhana Belajar

Selasa, 28 Juni 2016

Modul Matematika XI/SMA/MA/SMK/MAK/SMT II

4. Integral tak tentu

5. Integral Tertentu